☞Bloque 1

Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones ϡ

✎Se necesita saber, aclarar y hacer entender los conceptos y las partes de relación y función.

ツ】Función:

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, el dominio y el rango, tal que, para cada valor del dominio corresponde exactamente un valor del rango.

Las partes de una función se nombran.

ツDominio:

El dominio de una función  es el conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta o también conocido como el primer conjunto de datos, sus argumentos o elementos tiene su imagen en el contradominio.

ツArgumento:

Se define como cualquier elemento contenido en el dominio.

ツImagen: 

Se llama imagen o recorrido de una función a todos los valores de la variable dependiente que tienen algún valor de la variable independiente que se transforma en él por la función.

ツContradominio: 

Es el conjunto de todos los valores resultantes de la variable dependiente “y”. Otros nombres para éste son: recorrido (poco empleado en cálculo); imagen (muy utilizado en álgebra y teoría de conjuntos) ámbito (termino muy reciente para este concepto); y rango (muy empleado en cálculo)

ツ】Clasificación de funciones

Las funciones se clasifican básicamente en:

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

~Función afín.

~Función lineal.

~Función identidad.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Una función se compone de dos variables:

Variable dependiente: La variable dependiente de una función es aquella variable en la que su valor depende de las constantes y de la cantidad de variables independientes contenidas en la función.

Variable Independiente: Variable expresada en la función "x", en esta incógnita no influye ninguna otra ni depende de las demás variables ni constantes.

La variables pueden dividirse a su vez en continuas y discretas

Tipos de variables

Variable independiente

Una variable independiente es aquella cuyo valor no depende del de otra variable.

La variable independiente en una función se suele representar por x.

La variable independiente se representa en el eje de abscisas.

Variable dependiente

Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable.

La variable dependiente en una función se suele representar por y.

La variable dependiente se representa en el eje ordenadas.

La variable y está en función de la variable x.

Variables estadísticas

Variable cualitativa

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominal

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo:

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden. Por ejemplo:

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.

Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...

Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discreta

Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo:

El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable continua

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Por ejemplo:

La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

Variable aleatoria

Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real.

Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.

Ejemplos

El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalode la recta real.

Ejemplos

La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

Variable aleatoria binomial

La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.

Ejemplo

k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.

Variable aleatoria normal

Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa porN(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:

1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞ )

2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss.

Variable estadística bidimensional

Una variable bidimensional es una variable en la que cada individuo está definido por un par de caracteres, (X, Y).

Estos dos caracteres son a su vez variables estadísticas en las que sí existe relación entre ellas, una de las dos variables es la variable independiente y la otra variable dependiente.

http://www.ditutor.com/estadistica/variables_tipos.html

Funciones polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométricas

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cos x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Una función se compone de dos variables:

Variable dependiente: La variable dependiente de una función es aquella variable en la que su valor depende de las constantes y de la cantidad de variables independientes contenidas en la función.

Variable Independiente: Variable expresada en la función "x", en esta incógnita no influye ninguna otra ni depende de las demás variables ni constantes.
La variables pueden dividirse a su vez en continuas y discretas

Tipos de variables

Variable independiente

Una variable independiente es aquella cuyo valor no depende del de otra variable.

La variable independiente en una función se suele representar por x.

La variable independiente se representa en el eje de abscisas.

Variable dependiente

Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable.

La variable dependiente en una función se suele representar por y.

La variable dependiente se representa en el eje ordenadas.

La variable y está en función de la variable x.

Variables estadísticas

Variable cualitativa

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

Variable cualitativa nominal

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo:

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden. Por ejemplo:

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.

Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...

Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Variable cuantitativa

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Variable discreta

Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo:

El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Variable continua

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Por ejemplo:

La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

Variable aleatoria

Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real.

Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros.

Ejemplos

El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.

Variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalode la recta real.

Ejemplos

La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

Variable aleatoria binomial

La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.

Ejemplo

k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.

Variable aleatoria normal

Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa porN(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:

1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞ )

2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss.

Variable estadística bidimensional

Una variable bidimensional es una variable en la que cada individuo está definido por un par de caracteres, (X, Y).

Estos dos caracteres son a su vez variables estadísticas en las que sí existe relación entre ellas, una de las dos variables es la variable independiente y la otra variable dependiente.

http://www.ditutor.com/estadistica/variables_tipos.html

Tipos de relaciones

En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:

Relación unaria: un solo conjunto 

Relación binaria: con dos conjuntos 

Relación ternaria: con tres conjuntos 

Relación cuaternaria: con cuatro conjuntos 

...

Relación n-aria: caso general con n conjuntos 

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica#Tipos_de_relaciones

tambien http://132.248.95.160/wwwP5/profesor/publicacionMate/04I.pdf (pagina 4)

Rango:
El rango se conforma por el conjunto de imágenes, en algunos caso llega a ser igual al contradominio.
Relación:
Es una correspondencia entre dos conjuntos de elementos. El primer conjunto de elementos se llama dominio y el segundo rango
Las formas representar de una relación
Oración:
representar una relación en forma de oración significa que esta estará visible en forma oral o escrita.
ejemplo:
"El cuadrado de una variable"
TABLA:
En esta forma se expresa la relación entre los valores de P ( x , y )  es decir, del dominio y el rango, de forma vertical u horizontal
Diagrama sagital:
Define la relación de dos conjuntos de elementos, es decir, la relación del dominio y la rango. Esta relación se hace a través de flechas y se encierran en óvalos los elementos de un mismo conjunto,
Parejas ordenadas:
Las parejas ordenadas describen puntos P ( x ,y)
Ejemplo:
(2,4) (3,6) (4,8) (5, 10)
Gráfica:
Se establece a través de un sistema de coordenadas cartesianas estableciendo el dominio en los valores horizontales, mientras que el dominio ocupará los valores verticales.
Analítica:
Es sólo un modelo matemático que muestra dos variables:
y= x2 --hacer imagen..---
Para leer una función, su notación f (x) se lle como " f de x" o "imagen de x", su significado es la imagen del argumento x bajo la función f.
Ejemplo:
f(x) = 6x
----Formas de representar una función va antes de esto-----
la regla de correspondencia es que cada elemento en el rango es igual a seis veces cada elemento en el dominio.
f ( i ) = 6 ( i ) = 6            La imagen del argumento 1 es 6
f ( a ) = 6 (a ) = 6a         La imagen del argumento a es 6a
f ( b ) = 6b                     La imagen de b es seis veces b

-Para la función f definida por:   





Calcular:

               
                                                         

   

bibliografia:
max sobel
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/funciones_eda05/02_%20DOMINIO_FUNCIONES.htm

http://robertij0.wordpress.com/2011/09/20/dominio-y-contradominio-de-una-funcion/

-guia 

Ejercicios resueltos:

-f(2)                                                                

f(x) = 4x³ + 5x - 2
f(2) = 4(2)³ + 5(2) - 2
f(2) = 32 + 10 - 2
f(2) = 44
-f(-4)
f(x) = 4x³ + 5x - 2
f(-4) = 4(-4)³ + 5(-4) - 2
f(-4) = -256 + (-20) -2
f(-4) = 234

-f(5)
f(x) = 4x³ + 5x - 2
f(5) = 4(5)³ + 5(5) - 2
f(-4) = 500 + 25 -2
f(-4) = 523

2)  f(x) = 6x² + x - 7;   f(-5), f(-2)

-f(-5)                                                                

f(x) = 6x² + x² - 7

f(2) = 6(-5)² + (-5) - 7

f(2) =150+ 25 - 7

f(2) = 168

-f(-2)

f(x) = 6x² + x² - 7

f(x) = 6(-2)² + (-2)² - 7

f(x) = 24 + 4 -7

f(x) = 21
3)  f(t) = (t-5)^3;     f(-2), f(-5)

f(-2)
f(-2) = (-2- 5)3  
f(2) = -343
f(-5)

f(-5) = (-5 - 5)3 
f(-5) = -1000
4)  f(t) = (t-8)^2;     f(-3), f(-21)
 f(-3)

f(-3) = (-3 - 8) 
f(-3) = 121
 f(-21)
f(-21) = (-21 - 8)² 
f(-21) = 841

5)  f(x) = x /[2 + (x²)]^;     f(-4), f(3)
f(-4)
f(-4) = -4 / [2 + (-4² )]  
f(-4) = -4 / [2 + 16] = -4 / 18
f(-4) = -.222
f(3)
f(3) = 3 / 2 + (3² )  
f(3) = 3 / [2 + 9]
f(3) = 3 / 11
f(3) = .272

6)  f(x) = 2x / [3 + (x³)]^;     f(7), f(-31)
f(7)
f(7) = 2(7) / [3 + (73)]
f(7) = 2(7) / [3 + (343)]
f(7) = 14 / 346
f(7) = .040

f(-31)
f(-31) = 2(-31) / [3 + (-313)]
f(-31) = -62 / -893
f(-31) = .00069

7)  f(t) = √t + 8;     f(-8), f(3 + b)
f(-8)
f(-8) = √-8 + 8
f(-8) = √0
f(3b)

f(3b) = √(3 + b)+ 8
f(3b) = √11 + b

 9)  f(t) = √2t + 4;     t(b + t), t(8²)

t(b + t)
f(b + 8) = √2(b+ t) + 4 
f(b + 8) = √2b + 2t + 4
 t(8²)
f(8² ) = √2(8²) + 4 
f(8² ) = √2(64) + 4
f(8² ) = √128 + 4
f(8² ) = √11.489

9)  f(t) = √2t + 1;     t(2² ), t(-36)
f(2² + t) = √2(2² + t) + 1

f(2² + t) = √8 + 2t + 1
f(2² ) = √9 + 2t 

t(-36)f(-36 ) = √2(-36 + t) + 1

f(-36 ) = √-72 +  2t + 1
f(-36 ) = √-71 + 2t 

10)  f(t) = cos 10x;     f(8 ), f(-π / 4)
f(8)
f(8)= cos 10x
f(8)= cos 10(8)
f(8)= 7.878
f(-π / 4)

f(-π / 4)= cos 10 (-π / 4)
f(-π / 4)= cos 10 (- .785)
f(-π / 4)= - .3090

11)  f(t) = sen 2x;     f(-3² ), f(-8 / π )

f(-3² )
f(-3² ) = sen 2 (-3²)
f(-3² ) = sen -18
f(-3² ) = -.3090
f(-8 / π )
f(-8 /  π ) = sen 2 (-8 / π )
f(-8 /  π ) = .348

12)  f [(x + h) -f(x)] / h:   f(x)= x² + 2x + 4
f(x + h ) = (x + h)² + 2(x + h) + 4
f(x + h ) = x ² + 2xh + h² + 2x + 2h + 4

f [(x + h) -f(x)] / h = (x ² + 2xh + h² + 2x + 2h + 4 - x ² + 2x + 4) / h
f [(x + h) -f(x)] / h = (2xh + h²  + 2h) / h
f [(x + h) -f(x)] / h = 2x + h  + 2

13)  f [(x + 2h) -f(x)] / 2h:   f(x)= x² + 6x + 6

f(x + 2h ) = (x + 2h)² + 6(x + 2h) + 6
f(x + h ) = x ² + 4xh + 4h² + 6x + 12h + 6

f [(x + 2h) -f(x)] / 2h = (x ² + 4xh + 4h² + 6x + 12h + 6 - x ² + 6x + 6) / 2h
f [(x + 2h) -f(x)] / 2h = (4xh + 4h² + 12h )/ 2h
f [(x + 2h) -f(x)] / 2h = [(4xh + 4h² )/ 2h] + 6h

14)  f (x) = 4x² + x - 31;   f(5), f(-7)
f(5)
f (5) = 4(5)² + 5 - 31
f (5) = 105 - 31
f (5) = 75

f(-7)
f (-7) = 4(5)² + 5 - 31
f (-7) = 158

15)  f (x) = 32x² - 2x - 32;   f(29), f(3a)
f(29)
f (29) = 32(29²) + 2(29) - 32
f (29) = 26822
f(3a)

f (3a) = 32(3a²) + 2(3a) - 32
f (3a) = 288a² + 6a - 32

16)  f (x) = (x-9)^1/2 ;    f(7), f(-9)
f(2²)
f(7) = (7 - 9)^1/2
f(7) = √-2 = raíz imaginaria.
f(-9)

f(-9) = (-9 - 9)^1/2
f(7) = √-18 = raíz imaginaria.

17)  f(x) = cos 20x;     f(2² ), f(π)
f (2²) = cos 20 (2²)
f (2²) = 3.758
f(π)
f(π)= cos 20(π)
f(π)= 2.952

18) f(t) = √2t + 5;     f(5 ), f(-20)

f(5 )

f(5) = √2(5) + 5

f(5) = √10 + 5
f(5) = √15
f(5) = √3.87

f(-20)

f(-20) = √2(-20) + 5

f(-20) = √-40 +5
f(-20) = √-35 = raíz imaginaria.

19) g(t) = (8t - 6)^1/2 ;   t(-5), t(2b)
 t(-5)
t(-5) = [8(-5) -6 ] ^1/2
t(-5) = -40 - 6 ^1/2
t(-5) = √-46
t(2b)
t(2b) = [8(2b) -6 ] ^1/2
t(2b) = -40 - 6 ^1/2
t(2b) = √16b - 6

20) f(b-3) sí f(x) = 2x² + 2x + 8
f(b-3)= 2(b-3)² + 2(b-3) + 8
f(b-3)= 2b²-6b + 9 +2b-6 + 8
f(b-3)= 2b²-4b + 17
Calculo del Rango y Dominio de una Función y manera de  representar cada uno.

Primero, daremos un vistazo a la forma de representar el dominio y el rango de una función.
en forma gráfica: 

Calculo del rango de una función.

Para calcular el rango de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que elrango está conformado por el cero y todos los números positivos.

Al graficar la función se obtiene:

Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:

Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por ejemplo cuando la resistencia de un material está en función de las horas de trabajo, en la desintegración radiactiva cuando esta depende del tiempo transcurrido, así como las tasas de crecimiento poblacional, en los cálculos de tasas de interés, etc.

Cálculo del dominio de una función

Dominio de la función polinómica

El dominio de una función polinómica es: R

f(x)= x² - 5x + 6             D=R

Dominio de la función racional

El dominio es  menos los valores que anulan al denominador.

Dominio de la función radical de índice impar

El dominio es R.

Dominio de la función radical de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

D = 

Dominio de la función seno

D = .

Dominio de la función coseno

D = .

Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante

Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funciones

Operaciones con funciones
http://facultad.bayamon.inter.edu/edavila/PRECALCULO%20%20ARCHIVOS/Operaciones%20con%20funciones.htm

Operaciones con funciones

 

Función Suma Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma esta dada por ( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x)

Ejemplo 1    Si f (x) = 2x + 1   y  h (x) = |x|  entonces:

    ( h + f )(x) = h (x) + f (x) = |x| + 2x + 1     

       ( h + f )(2) = h (2) + f (2) = |2| + 2 ( 2 ) + 1= 7

Función Diferencia Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia esta dada por ( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)

Ejemplo 2      Si f (x) = 2x + 1,  g (x) = x²    entonces:

    ( f - g )( x ) = f (x) - g (x) = 2x + 1 - x² =  1 + 2x - x²

    ( f - g )(- 1) = f (- 1) - g (- 1) = 2 ( -1) + 1 - ( -1)² = -2 + 1 - 1 = - 2

 

Función Producto Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto esta dada por ( f g ) ( x ) = f (x) g (x)

Ejemplo 3    Si  g (x) = x²   y  h (x) = x - 2  entonces:

    ( h • g )(x) = h (x) • g (x) =  ( x - 2 ) x² = x³ – 2x²

    ( h • g )(5) = h (5) • g (5) = ( 5 - 2 ) ( 5 )² = 3 (25) = 75

 

Función Cociente Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función cociente esta dada por

Ejemplo 4   Si f (x) = 2x + 1,  g (x) = x ²    entonces:

1.      

 

 

 

Ejemplo

Sea  ,   entonces:

      

      

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Ejemplos de funciones:

1. f+g
   
   
   $(f+g)$ (x) = fx + gx = (x+2) + (x-2) = x+2 + x-2 = 2x
2. f-g
   
   
   $($ f - g ) ( x ) = f x - g x = ( x + 2 ) - ( x - 2 ) = x + 2 - x + 2 = 4
3. f×g
   
   
   $($ f × g ) ( x ) = f x × g x = ( x + 2 ) ( x - 2 ) = x 2 - 4
4. $\left(\frac{f}{g}\right)$
   
   $\left(\frac{f}{g}\right)$ = (x+2) (x-2) = x+2 x-2
   
   

   x f(x) g(x) (f+g)(x) -2 -2 1 -1 -1 0 1 1 0 -1 0 -1 1 -1 2 1 2 1 2 3
   x f(x) g(x) (f-g)(x) -2 -2 1 -3 -1 0 1 -1 0 -1 0 -1 1 -1 2 -3 2 1 2 -1
   x f(x) g(x) (f×g)(x) -2 -2 1 -2 -1 0 1 0 0 -1 0 0 1 -1 2 -2 2 1 2 2

Dadas las siguientes funciones, f(x)= 2x, g(x)= x - 4, h= $\sqrt{x}$ . Hallar:

1. f+g
   $(f+g)$ (x) = f x + g x = 2 x + ( x - 4 ) = 2 x + x - 4 = 3 x - 4

dominio de f	Todos los número reales
dominio de g	Todos los número reales
dominio de f+g	Todos los número reales




campo de valores def	Todos los número reales
campo de valores deg	Todos los número reales
campo de valores def+g	Todos los número reales



2. f+h
   $(f+$ h ) (x) = f x + h x = 2 x + ( x ) = 2 x + x

dominio de f	Todos los número reales
dominio de h	Los número reales positivos y el cero
dominio de f+h	Los número reales positivos y el cero




campo de valores def	Todos los número reales
campo de valores deh	Los número reales positivos y el cero
campo de valores def+h	Los número reales positivos y el cero



3. $\left(\frac{f}{}\right)$ g
   $\left(\frac{f}{}\right)$ g = (2x) ( x - 4 ) = 2 x x - 4

dominio de f	Todos los número reales
dominio de g	Todos los número reales
dominio de $\frac{f}{}$ g	Todos los número reales excepto x=4

 Dadas las siguientes funciones, f(x)= 2x, g(x)= x - 4, h= $\sqrt{x}$ . Hallar:

1. f+g
   $(f+g)$ (x) = f x + g x = 2 x + ( x - 4 ) = 2 x + x - 4 = 3 x - 4

dominio de f	Todos los número reales
dominio de g	Todos los número reales
dominio de f+g	Todos los número reales




campo de valores def	Todos los número reales
campo de valores deg	Todos los número reales
campo de valores def+g	Todos los número reales



2. f+h
   $(f+$ h ) (x) = f x + h x = 2 x + ( x ) = 2 x + x

dominio de f	Todos los número reales
dominio de h	Los número reales positivos y el cero
dominio de f+h	Los número reales positivos y el cero




campo de valores def	Todos los número reales
campo de valores deh	Los número reales positivos y el cero
campo de valores def+h	Los número reales positivos y el cero



3. $\left(\frac{f}{}\right)$ g
   $\left(\frac{f}{}\right)$ g = (2x) ( x - 4 ) = 2 x x - 4

dominio de f	Todos los número reales
dominio de g	Todos los número reales
dominio de $\frac{f}{}$ g	Todos los número reales excepto x=4

 Dadas las siguientes funciones, f(x)= 2x, g(x)= x - 4, h= $\sqrt{x}$ . Hallar:

1. f+g
   $(f+g)$ (x) = f x + g x = 2 x + ( x - 4 ) = 2 x + x - 4 = 3 x - 4

dominio de f	Todos los número reales
dominio de g	Todos los número reales
dominio de f+g	Todos los número reales




campo de valores def	Todos los número reales
campo de valores deg	Todos los número reales
campo de valores def+g	Todos los número reales



2. f+h
   $(f+$ h ) (x) = f x + h x = 2 x + ( x ) = 2 x + x

dominio de f	Todos los número reales
dominio de h	Los número reales positivos y el cero
dominio de f+h	Los número reales positivos y el cero




campo de valores def	Todos los número reales
campo de valores deh	Los número reales positivos y el cero
campo de valores def+h	Los número reales positivos y el cero



3. $\left(\frac{f}{}\right)$ g
   $\left(\frac{f}{}\right)$ g = (2x) ( x - 4 ) = 2 x x - 4

dominio de f	Todos los número reales
dominio de g	Todos los número reales
dominio de $\frac{f}{}$ g	Todos los número reales excepto x=4

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Clasificación de funciones

Clasificación de funciones

Funciones algebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x - 2

Funciones implícitas

En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0

Funciones polinómicas

Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁ x + a₁ x² + a₁ x³ +··· + a_n xⁿ

Su dominio es  , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función afín.

Función lineal.

Función identidad.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones trascendentes

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Función exponencial

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llamafunción exponencial de base a y exponente x.

Funciones logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones trigonométricas

La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.

Función seno

f(x) = sen x

Función coseno

f(x) = cosen x

Función tangente

f(x) = tg x

Función cosecante

f(x) = cosec x

Función secante

f(x) = sec x

Función cotangente

f(x) = cotg x

Funciones coninuas y discontinuas
http://darkcity2111.wordpress.com/3-8-funciones-continuas-y-descontinuas-en-un-punto-y-en-un-intervalo/
Bloque 11

Continuidades

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.

Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

as1dda

Discontinuidades

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable.